题目

如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB=BC，点E为BC上一点，且CD=CE． （1）求证：AE⊥BC； （2）若AD=6，DC=3，求AB的长． 答案：【考点】全等三角形的判定与性质． 【分析】（1）连接AC，求出∠DCA=∠ECA，根据SAS推出△DCA≌△ECA，根据全等得出∠D=∠CEA，即可得出答案； （2）根据全等得出AE=AD=6，设AB=x，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可． 【解答】（1）证明： 连接AC， ∵AB=BC， ∴∠ECA=∠BAC， ∵AB∥CD， ∴∠DCA=∠BAC， ∴∠DCA=∠ECA， 在△DCA和△ECA中 ∴△DCA≌△ECA（SAS）， ∴∠D=∠CEA， ∵AD⊥DC， ∴∠D=90°， ∴∠CEA=90°， ∴AE⊥BC； （2）解：∵△DCA≌△ECA， ∴AE=AD=6， 设AB=x， ∵DC=CE=3， ∴在Rt△BEA中，由勾股定理得：AB2=BE2+AE2， ∵AB=BC， ∴x2=（x﹣3）2+62， 解得：x=7.5， 即AB=7.5． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，能推出△DCA≌△ECA是解此题的关键．

查看本题答案和解析