题目

实数x、y满足，若z=ax+y的最大值为3a+9，最小值为3a﹣3，则a的取值范围是　　． 答案：　[﹣1，1]　． 【考点】简单线性规划． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可． 【解答】解：由z=ax+y得y=﹣ax+z，直线y=﹣ax+z是斜率为﹣a，y轴上的截距为z的直线， 作出不等式组对应的平面区域如图： 则A（3，9），B（﹣3，3），C（3，﹣3）， ∵z=ax+y的最大值为3a+9，最小值为3a﹣3， 可知目标函数经过A取得最大值，经过C取得最小值， 若a=0，则y=z，此时z=ax+y经过A取得最大值，经过C取得最小值，满足条件， 若a＞0，则目标函数斜率k=﹣a＜0， 要使目标函数在A处取得最大值，在C处取得最小值， 则目标函数的斜率满足﹣a≥kBC=﹣1， 即a≤1，可得a∈（0，1]． 若a＜0，则目标函数斜率k=﹣a＞0， 要使目标函数在A处取得最大值，在C处取得最小值，可得﹣a≤kBA=1 ∴﹣1≤a＜0，综上a∈[﹣1，1] 故答案为：[﹣1，1]． 【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据条件确定A，B是最优解是解决本题的关键．注意要进行分类讨论，是中档题．

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