题目

若O,A,B三点不共线,证明P,A,B三点共线的充要条件是存在实数λ,μ,使得,且λ+μ=1,λ,μ∈R. 答案：思路分析：由于P,A,B三点中任意两点都可以构造一个向量,则可利用两个向量共线的充要条件再作适当的变形就可以证得结论.证明：必要性.若P,A,B三点共线,则与共线.则有(t∈R),即.所以.令λ=1-t,μ=t,则λ+μ=1.所以存在实数λ,μ,使得,且λ+μ=1,λ,μ∈R.充分性.若存在实数λ,μ,使得,且λ+μ=1,λ,μ∈R,则有,即.∴.所以与共线.又与有相同的起点,所以P,A,B三点共线.方法归纳 所谓要证命题的必要性成立,就是由命题的结论成立,推证命题的题设(条件)成立;所谓要证命题的充分性成立,就是由命题的条件成立,推证结论成立.深化升华 证明充分性与必要性的关键是分清题设(条件)与结论,可将它们与命题联系起来,即若原命题成立,则题设是结论成立的充分条件;若逆命题成立,则题设是结论成立的必要条件.

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