题目

一质量为M的平板小车，在光滑水平面上以速度v0匀速前进，如果在小车的前缘轻轻地放上一质量为m的小木块(不计放小木块时对小车运动的影响)，如图1所示。已知木块与小车间的动摩擦因数为μ，那么为使小木块不掉下车，小车的长度最短为多少? 图1 答案：分析与解答： 解法1：取地面为参照系，小木块m做初速度为零的匀加速直线运动，平板车M做初速度为v0的匀减速直线运动。对m用牛顿第二定律得：Ff=μmg=ma1                                    ①对M用牛顿第二定律得：F′f=Ma2                                      ②由牛顿第三定律得：Ff=-F′f                    ③设经过t后，小木块恰好滑到小车的后边缘，此时木块与车保持相对静止，对地有共同的速度v,则：v=a1t=v0+a2t2                                  ④所以，小车的最短长度:L=s2-s1=(v0t＋a2t2)-a1t2                          ⑤由①—⑤得：t=。解法2：依题作出图2，设m和M相互作用，经历的时间为t，二者具有共同的速度v，系统在水平方向上不受外力作用动量守恒，则有：图2Mv0=(M+m)v                                ①对小木块m用动量定理：μmgt=mv                                 ②因m和M都作匀变速直线运动，对小木块m有：s1=                                   ③对小车有：s2=                             ④则小车的最短长度为：L=s2-s1==。解法3：由解法2得到M和m的共同速度：v=                            ①对两者在相互作用的过程用动能定理得：对m有：μmgs1=mv2                          ②对M有：-μmgs2=Mv2-                 ③解①②③式，得到小车的最短的长度：L=s2-s1=。解法4：如选小车为参照系，则小木块m相对于小车M的初速度为-v0，末速度v′=0,作匀减速运动，相对于小车的加速度：a相=a1-a2=μg(1+)因此在时间t内，m在M上滑行的距离L=｜｜=v0t=，也就是小车的最短长度。解法5：小木块m和小车M都作匀变速直线运动，依题意可作出它们的v-t图象，如图3所示。根据v-t图象与坐标轴所包围的面积的物理意义可知，ΔOBv0的面积大小即小车的最短长度，则有：图3L=。解法6：(整体法)选取小木块和小车为一系统，两者在相互作用过程中水平方向不受外力作用，动量守恒，则有：Mv0=(m+M)v                               ①系统相互作用过程中，损失的机械能等于系统产生的热量。根据能量守恒定律得：μmgL=-(M+m)v2                   ②由①②解得，相对位移L，即小车的最短长度为：L=。

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