题目

（2011内蒙古赤峰，25，14分）如图（图1、图2），四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在线段BC上，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CP于点F，FN⊥BC，交BC的延长线于点N。（1）若点E是BC的中点（如图1），AE与EF相等吗？为什么？（2）点E在BC间运动时（如图2），设BE=x,△ECF的面积为y。①求y与x的函数关系式；②当x取何值时，y有最大值，并求出这个最大值。 答案：解：（1）相等。理由：∵四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点∴∠B=∠DCN="90°." AB=BC=2BE，∴∠BAE+∠BEA=90°.∵∠AEF=90°∴∠AEB+∠FEC=90°.，∴∠BAE=∠FEN.∵CF是∠DCN的角平分线，∠FNC=90°。∴∠FCN=∠CFN=45°.∴FN=CN.在Rt△ABE和Rt△ENF中∴EN=2FN，∴EC＋CN=2CN，∴FN="BE" .∴Rt△ABE≌Rt△ENF. ∴AE=EF.方法二：如图，取AB的中点M，连结ME. ∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠B=∠DCN=90°，∵点E是BC的中点∴AM=MB=BE=EC在Rt△MBE中，∠BME=∠BEM=45°.∴∠AME=135°；∵CF是∠DCN的角平分线，∴∠FCN=45°.∴∠ECF=135°.∴∠AME="∠ECF" ；∵∠AEF="90° " ；∴∠AEB+∠FEC="90°" ；在Rt△ABE中，∠BAE+∠AEB=90°.∴∠BAE="∠FEN " ；∴△AME≌△ECF ；∴AE="EF" 。∴BE(EC+CN)="CN(BE+EC)" ;∴BE·EC＋ BE·CN =" BE·CN" ＋CN·EC ;∴BE·EC =" CN·EC" ;∴BE =" CN " ;∴BE ="FN" =" x" ，     ∴。②当x =2时，y有最大值为2.解析:略

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