题目

(1)已知数列｛cn｝，其中cn＝2n＋3n，且数列｛cn+1-pcn｝为等比数列，求常数p;(2)设｛an｝｛bn｝是公比不相等的两个等比数列，cn=an+bn,证明数列｛cn｝不是等比数列. 答案：解：（1）因为｛cn+1-pcn｝是等比数列，故有(cn+1-pcn)2＝（cn+2－pcn+1）（cn－pcn-1）.将cn＝2n＋3n代入上式，得［2n+1＋3n+1-p（2n＋3n）］2＝［2n+2＋3n+2-p（2n+1＋3n+1）］·［2n＋3n-p（2n-1＋3n-1）］,即［（2-p）2n+（3-p）3n］2＝［（2-p）2n+1+（3-p）3n+1］［（2-p）2n-1+（3-p）3n-1］.整理得(2-p)(3-p)·2n·3n=0.解得p=2或p=3.(2)设｛an｝｛bn｝的公比分别为p、q，p≠q,cn=an+bn.为证｛cn｝不是等比数列，只需证c22≠c1·c3.事实上，c22＝（a1p＋b1q）2＝a12p2＋b12q2＋2a1b1pq，c1·c3＝（a1＋b1）（a1p2＋b1q2）＝a12p2＋b12q2＋a1b1（p2＋q2）,由于p≠q，p2＋q2＞2pq，又a1、b1不为零，因此c22≠c1·c3，故｛cn｝不是等比数列.

查看本题答案和解析