题目

已知数列是等差数列， (1)求数列的通项； (2)设数列的通项 (其中a＞0，且a≠1)， 记Sn是数列的前n项和.试比较与的大小，并证明你的结论. 答案： (1)设数列的公差为，由题意得 解得           ∴ (2)由知 因此要比较与的大小，可先比较与的大小. 取有 取有， …… 由此推测  若①式成立，则由对数函数性质可断定： 当时，  当时，.  下面用数学归纳法证明①式.  (i)当时已验证①式成立.  (ii）假设当时，①式成立，  即.  那么，当时，  ∵ ∴  因而  这就是说①式当时也成立. 由(i)(ii)知，①式对任何自然数都成立.由此证得： 当时，  当时，  评述：该题是综合题，主要考查等差数列、数学归纳法、对数函数的性质等基本知识，以及归纳猜想，等价转化和代数式恒等变形的能力，相比之下，对能力的考查，远远高于对知识的考查.

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