题目

在四棱锥P﹣ABCD中，PB⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，若直线PC与平面PDB所成的角为30°，则四棱锥P﹣ABCD的外接球的表面积为　　　　　　． 答案：　12π　． 【考点】球的体积和表面积． 【分析】由题意，连接AC交BD于H，则AC⊥平面PDB，连接PH，则∠CPH是直线PC与平面PDB所成的角，求出四棱锥P﹣ABCD的外接球的半径，即可求出四棱锥P﹣ABCD的外接球的表面积． 【解答】解：由题意，连接AC交BD于H，则AC⊥平面PDB， 连接PH，则∠CPH是直线PC与平面PDB所成的角，即∠CPH=30°， ∵CH=， ∴PC=2， ∴PD=2， ∴四棱锥P﹣ABCD的外接球的半径为， ∴四棱锥P﹣ABCD的外接球的表面积为4πR2=12π． 故答案为：12π． 　

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