题目

已知椭圆的左、右焦点分别为、， 椭圆上的点满足，且的面积． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）是否存在直线，使与椭圆交于不同的两点、，且线段恰被直线 平分？若存在，求出的斜率取值范围；若不存在，请说明理由． 答案：解： （Ⅰ）由题意知：，             椭圆上的点满足，且， ． ，． ．                  又．                 椭圆的方程为．                 （Ⅱ）假设这样的直线存在．与直线相交，直线的斜率存在. 设的方程为，                      由 得．（* 直线与椭圆有两个交点， （*）的判别式，即．① 设、，则 ．　 被直线平分，可知， 　　，． ②　　　 把②代入①，得，即． ，．                        或．即存在满足题设条件的直线，且的斜率取值范围是 ．                    

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