题目

（本小题满分7分）已知：等边三角形ABC如图1，P为等边△ABC外一点，且∠BPC=120°．试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系,并证明你的猜想；（2）如图2，P为等边△ABC内一点，且∠APD=120°．求证：PA+PD+PC＞BD 答案：猜想：AP="BP+PC                " ------------------------------1分（1）证明：延长BP至E，使PE=PC，联结CE∵∠BPC=120°∴∠CPE=60°，又PE=PC∴△CPE为等边三角形∴CP=PE=CE，∠PCE=60°∵△ABC为等边三角形∴AC=BC，∠BCA=60°∴∠ACB=∠PCE，∴∠ACB+∠BCP=∠PCE+∠BCP即：∠ACP=∠BCE∴△ACP≌△BCE ∴AP=BE-------------------------2分∵BE=BP+PE∴AP="BP+PC" --------------------------------------------- 3分（2）方法一：在AD外侧作等边△AB′D     --------------------- 4分则点P在三角形ADB′外　　 ∵∠APD=120°∴由（1）得PB′=AP+PD在△PB′C中，有PB′+PC＞CB′， ∴PA+PD+PC＞CB′      ------------------------------------ 5分∵△AB′D、△ABC是等边三角形∴AC=AB，AB′=AD，∠BAC=∠DA B′=60°∴∠BAC+∠CAD=∠DAB′+∠CAD即：∠BAD=∠CAB′∴△AB′C≌△ADB  ∴C B′="BD         " -------------------------------------- 6分∴PA+PD+PC＞BD    ----------------------------------- 7分方法二：延长DP到M使PM=PA，联结AM、BM∵∠APD=120°，∴△APM是等边三角形， -----------------------------4分∴AM=AP，∠PAM=60°∴DM="PD+PA         " ------------------------------5分∵△ABC是等边三角形∴AB=AC，∠BAC=60°∴△AMB≌△APC∴BM="PC          " -------------------------------------------6分在△BDM中，有DM + BM＞BD， ∴PA+PD+PC＞BD      ----------------------------------------解析:略

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