题目

求与x轴相切，圆心在直线3x－y＝0上，且被直线x－y＝0截得的弦长为2的圆的方程． 答案：解析　法一　设所求的圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 则圆心(a，b)到直线x－y＝0的距离为， ∴r2＝2＋()2， 即2r2＝(a－b)2＋14，① 由于所求的圆与x轴相切，∴r2＝b2.② 又因为所求圆心在直线3x－y＝0上， ∴3a－b＝0.③ 联立①②③，解得 a＝1，b＝3，r2＝9或a＝－1，b＝－3，r2＝9. 故所求的圆的方程是 (x－1)2＋(y－3)2＝9或(x＋1)2＋(y＋3)2＝9. 法二　设所求的圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 圆心为，半径为. 令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0， 由圆与x轴相切，得Δ＝0，即D2＝4F. 又圆心到直线x－y＝0的距离为. 由已知，得2＋()2＝r2， 即(D－E)2＋56＝2(D2＋E2－4F)⑤ 又圆心在直线3x－y＝0上， ∴3D－E＝0.⑥ 联立④⑤⑥，解得 D＝－2，E＝－6，F＝1或D＝2，E＝6，F＝1. 故所求圆的方程是x2＋y2－2x－6y＋1＝0，或x2＋y2＋2x＋6y＋1＝0.

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