题目

在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C：ρ2﹣4ρcosθ+1=0，直线l：（t为参数，0≤α＜π）． （1）求曲线C的参数方程； （2）若直线l与曲线C相切，求直线l的倾斜角及切点坐标． 答案：【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程． 【分析】（1）由曲线C的极坐标方程，求出曲线C的直角坐标方程，得到曲线C是以C（2，0）为圆心，以r=为半径的圆，由此能求出曲线C的参数方程． （2）直线l消去参数t，得直线l的直角坐标方程为：cosαx﹣sinαy﹣4cosα=0．由直线l与曲线C相切，知圆心C（2，0）到直线l的距离d等于圆半径r，由此能求出结果． 【解答】解：（1）∵曲线C：ρ2﹣4ρcosθ+1=0， ∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣4x+1=0，即（x﹣2）2+y2=3， ∴曲线C是以C（2，0）为圆心，以r=为半径的圆， ∴曲线C的参数方程为． （2）∵直线l：（t为参数，0≤α＜π）． ∴消去参数t，得直线l的直角坐标方程为：cosαx﹣sinαy﹣4cosα=0． ∵直线l与曲线C相切，∴圆心C（2，0）到直线l的距离d等于圆半径r， 即d==2cosα=，∴cos， ∵0≤α＜π，∴直线l的倾斜角α=， ∴直线l的方程为x﹣y﹣4=0， 联立，得x=，y=﹣， ∴切点坐标为（，﹣）． 【点评】本题考查曲线的参数方程的求法，考查直线的倾斜角和切点坐标的求法，考查两点间距离公式的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意参数方程、直角坐标方程、极坐标方程互化公式的合理运用．

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