题目

如图：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=AC=BC=2，D为AB中点． （1）求证：BC1∥平面A1CD； （2）求二面角D﹣CA1﹣A的正切值． 　 答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定． 【专题】综合题；空间位置关系与距离；空间角． 【分析】（1）连接AC1交A1C于O点，连接DO，则O为AC1的中点，由D为AB中点，知DO∥BC1，由此能够证明BC1∥平面A1CD． （2）以CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能够求出二面角D﹣CA1﹣A的正切值． 【解答】（1）证明：连接AC1交A1C于O点，连接DO，则O为AC1的中点， ∵D为AB中点，∴DO∥BC1， 又∵DO⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD， ∴BC1∥平面A1CD． （2）解：以CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系， ∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=AC=BC=2，D为AB中点． ∴=（﹣2，2，2）， 设二面角D﹣CA1﹣A的大小为θ，则 ∵平面ACA1的法向量是=（0，1，0） ∴cosθ==，∴tanθ=， ∴二面角D﹣CA1﹣A的正切值是． 【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角D﹣CA1﹣A的正切值，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 　

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