题目

已知定义在R上的奇函数f(x)＝ (a＞0，且a≠1)． （Ⅰ）求k的值； （Ⅱ）当m∈[0，1]，n∈[－1，0]时，不等式f(2n2－m＋t)＋f(2n－mn2)＞0恒成立，求t的取值范围． 答案：解：（Ⅰ）由f(x)＋f(－x)＝0，得＝0，     即＝0，即＝0， 所以k＝1．  …………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知：f(x)＝． ①当a＞1时，a2－1＞0，y＝ax与y＝－a－x在R上都是增函数， 所以函数f(x)在R上是增函数； ②当0＜a＜1时，a2－1＜0，y＝ax与y＝－a－x在R上都是减函数， 所以函数f(x)在R上是增函数． 综上，f(x)在R上是增函数． （此结论也可以利用单调性的定义证明） …………8分 不等式f(2n2－m＋t)＋f(2n－mn2)＞0可化为f(2n2－m＋t)＞－f(2n－mn2)， ∵函数f(x)是奇函数， ∴不等式可化为f(2n2－m＋t)＞f(－2n＋mn2)； 又∵f(x)在R上是增函数． ∴2n2－m＋t＞－2n＋mn2       …………10分 即t＞(n2＋1)m－2n2－2n，对于m∈[0，1]恒成立． 设g(m)＝(n2＋1)m－2n2－2n，m∈[0，1]． 则t＞g(m)max＝g(1)＝－n2－2n＋1 所以t＞－n2－2n＋1，对于n∈[－1，0]恒成立．  …………11分 设h(n)＝－n2－2n＋1，n∈[－1，0]． 则t＞h(n)max＝h(－1)＝2． 所以t的取值范围是(2，＋∞)

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