题目

（福建卷文20）已知｛an｝是正数组成的数列，a1=1，且点（）（nN*）在函数y=x2+1的图象上. (Ⅰ)求数列｛an｝的通项公式； (Ⅱ)若列数｛bn｝满足b1=1,bn+1=bn+，求证：bn       ·bn+2＜b2n+1. 答案：本小题考查等差数列、等比数列等基本知识，考查转化与化归思想，推理与运算能力. 解法一： （Ⅰ）由已知得an+1=an+1、即an+1-an=1，又a1=1, 所以数列｛an｝是以1为首项，公差为1的等差数列. 故an=1+(a-1)×1=n. (Ⅱ)由（Ⅰ）知：an=n从而bn+1-bn=2n. bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+­­­­­­­­­­­···+（b2-b1）+b1 =2n-1+2n-2+···+2+1＝=2n-1. 因为bn·bn+2-b=(2n-1)(2n+2-1)-(2n-1-1)2 =(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-2-2n+1-1) =-5·2n+4·2n =-2n＜0, 所以bn·bn+2＜b, 解法二：（Ⅰ）同解法一. （Ⅱ）因为b2=1, bn·bn+2- b=(bn+1-2n)(bn+1+2n+1)- b             =2n+1·bn-1-2n·bn+1-2n·2n+1 ＝2n（bn+1-2n+1） =2n（bn+2n-2n+1） =2n（bn-2n） =… =2n（b1-2） =-2n〈0， 所以bn-bn+2<b2n+1

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