题目

如图,直三棱柱ABC—A1B1C1,底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M、N分别是A1B1、A1A的中点,        (1)求的长；       (2)求cos〈〉的值；       (3)求证:A1B⊥C1M.        答案：解析:如题图,以C为原点建立空间直角坐标系O—xyz.        (1)依题意,得B(0,1,0),N(1,0,1),       ∴||=       (2)依题意,得A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2),       ∴={1,-1,2},={0,1,2},=3,||=,||=.       ∴cos〈,〉=.　　       (3)依题意,得C1(0,0,2),M(,,2),={-1,1,-2},={,,0},       ∴·=-++0=0.       ∴⊥.   ∴A1B⊥C1M.

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