题目

如图，以AB为直径的半圆O 交AC于点D，且点D为AC的中点，DE⊥BC于点E，AE交半圆O于点F，BF的延长线交DE于点G. （1）求证：DE为半圆O的切线； （2）若，，求EF的长. 答案：（1）证明：连接OD.  ························· 1分 ∵AB为半圆O的直径，D为AC的中点， ∴∥BC .  ························ 2分 ∵DE⊥BC，∴DE⊥DO，又∵点D在圆上， ∴DE为半圆O的切线.  ···················· 4分 （2）解：∵AB为半圆O的直径，DE⊥BC ，  ∴AF⊥BF，∴∠GEB=∠GFE=， ∵∠BGE=∠EGF ，  ∴△BGE∽△EGF ∴，∴ （也可以由射影定理求得） ∵，，  ∴. ··············· 6分 在Rt△EGF中，由勾股定理得：.  ··········· 8分

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