题目

已知a为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+1(x∈R),(1)讨论f(x)的奇偶性；(2)求f(x)的最小值. 答案：解：(1)当a=0时,f(-x)=f(x),f(x)为偶函数;    当a≠0时，f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1,f(-a)≠f(a),f(-a)≠-f(a)，    此时f(x)不具有奇偶性.(2)①当x≤a时,f(x)=x2-x+a+1=(x-)2+a+.    若a≤，则f(x)在(-∞,a]上单调递减，从而函数f(x)在(-∞,a]上的最小值为f(a)=a2+1;    若a＞，则函数f(x)在(-∞,a]上的最小值为f()=+a且f()≤f(a).②当x≥a时,函数f(x)=x2+x-a+1=(x+)2-a+.    若a≤-,则f(x)在［a,+∞)上的最小值为f(-)=-a且f(-)≤f(a);    若a＞-,则函数f(x)在［a,+∞)上单调递增，从而函数f(x)在［a,+∞)上的最小值为f(a)=a2+1.    综上,当a≤-时，f(x)的最小值为-a;    当-＜a≤时，f(x)的最小值为a2+1;    当a＞时,f(x)的最小值为a+.

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