题目

（本小题满分14分） 在数列中，，且对任意.，，成等差数列，其公差为。 （Ⅰ）若=，证明，，成等比数列（） （Ⅱ）若对任意，，，成等比数列，其公比为。 答案：【解析】本小题主要考查等差数列的定义及通项公式，前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。满分14分。 （Ⅰ）证明：由题设，可得。 所以 = =2k(k+1) 由=0，得 于是。 所以成等比数列。 （Ⅱ）证法一：（i）证明：由成等差数列，及成等比数列，得 当≠1时，可知≠1，k 从而 所以是等差数列，公差为1。 （Ⅱ）证明：，，可得，从而=1.由（Ⅰ）有 所以 因此， 以下分两种情况进行讨论： 当n为偶数时，设n=2m() 若m=1,则. 若m≥2，则 + 所以 (2)当n为奇数时，设n=2m+1（） 所以从而··· 综合（1）（2）可知，对任意,,有 证法二：（i）证明：由题设，可得 所以 由可知。可得， 所以是等差数列，公差为1。 （ii）证明：因为所以。 所以，从而，。于是，由（i）可知所以是公差为1的等差数列。由等差数列的通项公式可得= ，故。 从而。 所以，由，可得 。 于是，由（i）可知 以下同证法一。

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