题目

如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，且侧棱垂直于底面，由 B沿棱柱侧面经过棱C C1到点A1的最短路线长为,设这条最短路线与CC1的交 点为D． （1）求三棱柱ABC－A1B1C1的体积； （2）在平面A1BD内是否存在过点D的直线与平面ABC平行？证明你的判断； （3）证明：平面A1BD⊥平面A1ABB1． 答案：(1)   (2)在平面A1BD内存在过点D的直线与平面ABC平行    (3)证明见解析 解析:(1)如图，将侧面BB1C1C绕棱CC1旋转120°使其与侧面AA1C1C在同一平面上，点B运动到点B2的位置，连接A1B2，则A1B2就是由点B沿棱柱侧面经过棱CC1到点A1的最短路线。                                            ……………………………………1分 设棱柱的棱长为，则B2C=AC=AA1＝, ∵CD∥AA1　　　　　　　∴D为CC1的中点，……………………………2分 在Rt△A1AB2中，由勾股定理得， 即　解得，……………………4分 ∵∴  ……………………………………6分 (2)设A1B与AB1的交点为O,连结BB2,OD，则……………………………7分 ∵平面，平面  ∴平面， 即在平面A1BD内存在过点D的直线与平面ABC平行   ……………………………9分  (3)连结AD,B1D ∵≌≌ ∴   ∴……………………………11分   　∵     ∴平面A1ABB1      ……………………………13分 又∵平面A1BD    ∴平面A1BD⊥平面A1ABB1  ……………………………………14分

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