题目

(本小题满分14分)设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上，恒成立，则称函数在上为“凸函数”．已知． (1)若为区间上的“凸函数”，试确定实数的值； (2)若当实数满足时，函数在上总为“凸函数”，求的最大值． 答案：【解析】本小题主要考查函数、导数等知识,  考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识. 解：由函数得，  …………3分 (Ⅰ) 若为区间上的“凸函数”，则有在区间上恒成立，由二次函数的图像，当且仅当 ， 即．  …………………………………………………7分 (Ⅱ)当时，恒成立当时，恒成立．          ……………………………………………………………8分 当时，显然成立。    …………………………………9分 当， ∵的最小值是． ∴． 从而解得             …………………………………………11分 当， ∵的最大值是，∴， 从而解得．                   ……………………………13分 综上可得，从而        ……………14分

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