题目

已知数列{an}中，a1=-1，且(n+1)an，(n+2)an+1，n成等差数列.（1）设bn=(n+1)an-n+2，求证：数列{bn}是等比数列；（2）求{an}的通项公式；（3）若an-bn≤kn对一切n∈N*恒成立，求实数k的取值范围. 答案：(1)证明:(n+2)an+1=(n+1)an+, ∵b1=2a1-1+2=-1, ====,∴数列{bn}是等比数列. (2)解:由(1)得bn=-()n-1,即(n+1)an-n+2=-()n-1.∴an=()n-1+. (3)解:∵an-bn=()n-1+,∴an-bn≤kn,即k≥()n-1+. 设cn=()n-1,dn=,en=()n-1+,则cn随着n的增大而减小. ∵dn+1-dn==,∴n≥5时,dn+1-dn＜0,dn+1＜dn,dn随着n的增大而减小, 则n≥5时,en随着n的增大而减小.∴e1=0,e2=,e3=,e4=,e5=.则e1＜e2＞e3＞e4＞e5＞…….∴e2=最大.∴实数k的取值范围k≥.

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