题目

已知sinθ+cosθ=,θ∈(0,π),求cotθ的值. 答案：解析一:由sinθ+cosθ=,得(sinθ+cosθ)2=,∴sinθ·cosθ=-＜0.而θ∈(0,π),∴90°＜θ＜180°,sinθ＞0,cosθ＜0,sinθ-cosθ＞0.∴(sinθ-cosθ)2=1-2sinθcosθ=.∴sinθ-cosθ=.由得sinθ=,cosθ=-,cotθ=-.解析二:由sinθ+cosθ=,可得cos2θ=(-sinθ)2,即1-sin2θ=(-sinθ)2,整理得25sin2θ-5sinθ-12=0,(5sinθ-4)(5sinθ+3)=0,解得sinθ=或sinθ=-.由0＜θ＜π知,sinθ=-不合题意,∴sinθ=,cosθ=-sinθ=-.∴cotθ=-.解析三:同解析一得sinθ·cosθ=-,∴=-.等式两边同除以cos2θ,得=-,整理得12tan2θ+25tanθ+12=0,解得tanθ=-或tanθ=-.∵sinθcosθ＜0,sinθ+cosθ=＞0,θ∈(0,π),∴|sinθ|＞|cosθ|.∴|tanθ|＞1.∴tanθ＜-1或tanθ＞1(舍去).∴cotθ＞-1.∴cotθ=-.点评:对于三角函数式sinα+cosα、sinα-cosα、sinαcosα,它们之间可通过(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα,(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα进行转换.若已知sinα+cosα,sinα-cosα,sinα·cosα中三者之一,可求其余两个函数式:如设sinα+cosα=t,则sinα·cosα=(t2-1),sin3α+cos3α=t(3-t2),sin4α+cos4α=(sin2α+cos2α)2-2sin2α·cos2α=1-(t2-1)2.这样利用方程的思想解三角题在三角函数中应用比较广泛.

查看本题答案和解析