题目

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an=2﹣3Sn（n∈N*） （Ⅰ）求数列{an}的通项公式 （Ⅱ）设bn=log2an，求数列{}的前n项和Tn． 答案：【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式． 【分析】（Ⅰ）当n≥2时，由已知条件an=2﹣3Sn得到an﹣1=2﹣3Sn﹣1，将这两个式子相减，再结合数列{an}的前n项和Sn的定义易得数列{an}的通项公式 （Ⅱ）利用（Ⅰ）中求得的通项公式不难推出：bn=log2an=1﹣2n，所以利用裂项相消法来求数列{}的前n项和Tn． 【解答】解：（Ⅰ）当n≥2时，∵an=2﹣3Sn…① ∴an﹣1=2﹣3Sn﹣1…② ①﹣②得：an﹣an﹣1=﹣3（Sn﹣Sn﹣1）=﹣3an ∴4an=an﹣1；即=， 又a1=2﹣3S1=2﹣3a1；得：a1=， ∴数列{an}是以为首项，为公比的等比数列 ∴an=×（）n﹣1=21﹣2n（n∈N*），即an=21﹣2n（n∈N*）， （Ⅱ）∵an=21﹣2n（n∈N*），bn=log2an， ∴bn=log2an=log221﹣2n=1﹣2n， ∴==（﹣）． ∴Tn=（1﹣+﹣+…+﹣）， =（1﹣）， =（n∈N*）． 【点评】本题主要考查数列通项公式和前n项和的求解，利用裂项相消求和法是解决本题的关键． 　

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