题目

设数列的前项和为，且满足，数列满足，且． （1）求数列和的通项公式; （2）设，数列的前项和为,求证: ; （3）设数列满足（），若数列是递增数列，求实数的取值范围． 答案：解：(1)∵n＝1时，a1＋S1＝a1＋a1＝2， ∴a1＝1. ∵Sn＝2－an，即an＋Sn＝2，  ∴an＋1＋Sn＋1＝2. 两式相减：an＋1－an＋Sn＋1－Sn＝0. 即an＋1－an＋an＋1＝0    故有2an＋1＝an，∵an≠0， ∴＝              ∴an＝n－1.           ……………3分 ∵bn＋1＝bn＋an(n＝1,2,3，…)，        ∴bn＋1－bn＝n－1.                   得b2－b1＝1，b3－b2＝，b4－b3＝2，,bn－bn－1＝n－2(n＝2,3，…)． 将这n－1个等式相加，得 bn－b1＝1＋＋2＋3＋…＋n－2＝＝2－n－2. 又∵b1＝1，∴bn＝3－n－2(n＝1,2,3…)．            ………………6分 (2)证明：∵cn＝n(3－bn)＝2nn－1. ∴Tn＝2.① 而Tn＝2.② ①－②得 Tn＝2－2×n×n. Tn＝4×－4×n×n＝8－－4×n×n ＝8－(n＝1,2,3，… ∴Tn＜8.    （3）由（1）知 由数列是递增数列，∴对恒成立， 即 恒成立， 即恒成立，   当为奇数时，即恒成立，∴， 当为偶数时，即恒成立，∴   综上实数的取值范围为         

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