题目

（全国Ⅱ卷理19文20）如图，正四棱柱中， ，点在上且． （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）求二面角的大小． 答案：解法一：依题设知，． （Ⅰ）连结交于点，则． 由三垂线定理知，．       3分 在平面内，连结交于点， 由于， 故，， 与互余．于是． 与平面内两条相交直线都垂直， 所以平面．    6分 （Ⅱ）作，垂足为，连结．由三垂线定理知， 故是二面角的平面角．  8分 ， ，． ，． 又，． ． 所以二面角的大小为．    12分 解法二：以为坐标原点，射线为轴的正半轴， 建立如图所示直角坐标系． 依题设，． ， ．   3分 （Ⅰ）因为，， 故，．又， 所以平面．    6分 （Ⅱ）设向量是平面的法向量，则，． 故，． 令，则，，．      9分 等于二面角的平面角， ． 所以二面角的大小为．   12分

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