题目

已知函数f（x）=ex﹣x2﹣ax． （1）若曲线y=f（x）在点x=0处的切线斜率为1，求函数f（x）在[0，1]上的最值； （2）令g（x）=f（x）+（x2﹣a2），若x≥0时，g（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围； （3）当a=0且x＞0时，证明f（x）﹣ex≥xlnx﹣x2﹣x+1． 答案：解：（1）∵f′（x）=ex﹣2x﹣a，∴f′（0）=1﹣a=1，∴a=0， ∴f′（x）=ex﹣2x，记h（x）=ex﹣2x，∴h′（x）=ex﹣2，令h′（x）=0得x=ln2． 当0＜x＜ln2时，h′（x）＜0，h（x）单减；当ln2＜x＜1时，h′（x）＞0，h（x）单增， ∴h（x）min=h（ln2）=2﹣2ln2＞0， 故f′（x）＞0恒成立，所以f（x）在[0，1]上单调递增， ∴f（x）min=f（0）=1，f（x）max=f（1）=e﹣1． （2）∵g（x）=ex﹣（x+a）2，∴g′（x）=ex﹣x﹣a． 令m（x）=ex﹣x﹣a，∴m′（x）=ex﹣1， 当x≥0时，m′（x）≥0，∴m（x）在[0，+∞）上单增，∴m（x）min=m（0）=1﹣a． （i）当1﹣a≥0即a≤1时，m（x）≥0恒成立，即g′（x）≥0，∴g（x）在[0，+∞）上单增， ∴g（x）min=g（0）=1﹣≥0，解得﹣≤a≤，所以﹣≤a≤1． （ii）当1﹣a＜0即a＞1时，∵m（x）在[0，+∞）上单增，且m（0）=1﹣a＜0， 当1＜a＜e2﹣2时，m（ln（a+2））=2﹣ln（2+a）＞0， ∴∃x0∈（0，ln（a+2）），使m（x0）=0，即e=x0+a． 当x∈（0，x0）时，m（x）＜0，即g′（x）＜0，g（x）单减； 当x∈（x0，ln（a+2））时，m（x）＞0，即g′（x）＞0，g（x）单增． ∴g（x）min=g（x0）=e﹣（x0+a）2=e﹣e=e（1﹣e）≥0， ∴e≤2可得0＜x0≤ln2，由e=x0+a， ∴a=e﹣x0． 记t（x）=ex﹣x，x∈（0，ln2]， ∴t′（x）=ex﹣1＞0，∴t（x）在（0，ln2]上单调递增， ∴t（x）≤t（ln2）=2﹣2ln2，∴1＜a≤2﹣2ln2， 综上，a∈[﹣，2﹣ln2]． （3）证明：f（x）﹣ex≥xlnx﹣x2﹣x+1等价于ex﹣x2﹣ex≥xlnx﹣x2﹣x+1， 即ex﹣ex≥xlnx﹣x+1． ∵x＞0，∴等价于﹣lnx﹣﹣e+1≥0． 令h（x）=﹣lnx﹣﹣e+1， 则h′（x）=． ∵x＞0，∴ex﹣1＞0． 当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）单减； 当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）单增． ∴h（x）在x=1处有极小值，即最小值， ∴h（x）≥h（1）=e﹣1﹣e+1=0， ∴a=0且x＞0时，不等式f（x）﹣ex≥xlnx﹣x2﹣x+1成立．

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