题目

如图，为平面，AB=5,A, B在棱l上的射影分别为A′，B′，AA′＝3，BB′＝2. 若二面角的大小为，求： （Ⅰ）点B到平面的距离; （Ⅱ）异面直线与AB所成的角（用反三角函数表示）. 答案： 解：（Ⅰ）如图，过点B′C∥A′A且使B′C=A′A.过点B作BD⊥CB′，交CB′的延长线于D. 由已知AA′⊥l，可得DB′⊥l，又已知BB′⊥l，故l⊥平面BB′D，得BD⊥l又因BD⊥CB′，从而BD⊥平面α,BD之长即为点B到平面α的距离. 因B′C⊥l且BB′⊥l，故∠BB′C为二面角α-l-β的平面角.由题意，∠BB′C=.因此在Rt△BB′D中，BB′=2,∠BB′D=π-∠BB′C=, BD=BB′・sin∠BB′D=. （Ⅱ）连接AC、BC.因B′C∥A′A，B′C=A′A, AA′⊥l, 知A′ACB′为矩形， 故AC∥l. 所以∠BAC或其补角为异面直线l与AB所成的角. 在△BB′C中，B′B=2，B′C=3，∠BB′C=，则由余弦定理， BC=. 因BD平面，且DCCA，由三垂线定理知ACBC. 故在△ABC中，∠BCA=，sinBAC=. 因此，异面直线l与AB所成的角为arcsin。

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