题目

函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形． （Ⅰ）指出函数f（x）的值域； （Ⅱ）求函数f（x）的解析式； （Ⅲ）若f（x0）=，且x0∈（﹣，），求f（x0+6）的值． 　 答案：【考点】正弦函数的图象；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式． 【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质． 【分析】（Ⅰ）由函数的解析式求得函数的值域． （Ⅱ）根据等边三角形 ABC的边长为半个周期，求得ω的值，可得函数的解析式． （Ⅲ）由f（x0）=，求得sin（x0+）=．再利用同角三角函数的基本关系、诱导公式求得f（x0+6）的值． 【解答】解：（Ⅰ）根据函数f（x）=2sin（ωx+），可得函数f（x）的值域为[﹣2，2]． （Ⅱ）由题意可得等边三角形 ABC的边长为=4， ∴•=4，求得ω=，∴f（x）=2sin（x+）． （Ⅲ）若f（x0）=2sin（x0+）=，则sin（x0+）=． f（x0+6）=2sin[（x0+6）x+]=2sin（x0++）=﹣cos（x0+）． ∵x0∈（﹣，），∴x0+∈（﹣，）， ∴cos（x0+）==， ∴f（x0+6）=﹣． 【点评】本题主要考查正弦函数的值域，正弦函数的周期性，同角三角函数的基本关系，属于中档题． 　

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