题目

定义在R上的函数f（x）=（sinx+cosx+|sinx﹣cosx|），给出下列结论： ①f（x）为周期函数  ②f（x）的最小值为﹣1 ③当且仅当x=2kπ（k∈Z）时，f（x）取得最小值 ④当且仅当2kπ﹣＜x＜（2k+1）π，（k∈Z）时，f（x）＞0 ⑤f（x）的图象上相邻最低点的距离为2π． 其中正确的结论序号是（　　） A．①④⑤   B．①③④   C．①②④   D．②③⑤ 答案：A【分析】根据绝对值的应用将函数进行化简，然后作出函数f（x）的图象，利用数形结合以及三角函数的性质进行判断即可． 【解答】解：当sinx≥cosx，即 x∈[2kπ+，2kπ+]时， f（x）=（sinx+cosx+|sinx﹣cosx|）=（sinx+cosx+sinx﹣cosx）=sinx， 当sinx＜cosx，x∈[2kπ﹣，2kπ+]时， f（x）=（sinx+cosx+|sinx﹣cosx|）=（sinx+cosx﹣sinx+cosx）=cosx， 作出正弦函数y=sinx与y=cosx在一个周期上的图象如图：取函数的最大值， 即为函数f（x）=max{sinx，cosx}， ①函数以2π为周期的周期函数，故①正确， ②由图象知函数的最小值为﹣，故②错误 ③由图象知当且仅当x=2kπ﹣时，函数取得最小值﹣，故③错误， ④由图象知当2kπ﹣＜x＜（2k+1）π，（k∈Z）时，f（x）＞0成立，故④正确， ⑤∵函数的周期是2π，∴f（x）的图象上相邻最低点的距离为2π正确，故⑤正确， 故正确的是①④⑤， 故选：A 　

查看本题答案和解析