题目

等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，点A、点B分别是x轴、y轴两个动点，直角边AC交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E； （1）如图（1），若A(0，1)，B(2，0)，求C点的坐标； （2）如图 （2）， 当等腰Rt△ABC运动到使点D恰为AC中点时，连接DE，求证：∠ADB=∠CDE (3) 如图（3），在等腰Rt△ABC不断运动的过程中，若满足BD始终是∠ABC的平分线，试探究：线段OA、OD、BD三者之间是否存在某一固定的数量关系，并说明理由. 答案：（1）过点C作CF⊥y轴于点F 通过证△ACF≌△ABO(AAS) 得CF=OA=1，AF=OB=2 ∴OF=1 ∴C(－1，－1)  （3分）（2）过点C作CG⊥AC交y轴于点G 通过证△ACG≌△ABD(ASA)         得 CG=AD=CD   ∠ADB=∠G    由  ∠DCE=∠GCE=45° 可证△DCE≌△GCE(SAS)得∠CDE=∠G ∴∠ADB=∠CDE                  （3分） (3) BD=2(OA +OD) 在OB上截取OH=OD,连接AH 由对称性得AD=AH, ∠ADH=∠AHD 可证∠AHD=∠ADH=∠BAO=∠BEO ∴∠AEC=∠BHA               又∵AB=AC  ∠CAE=∠ABH ∴△ACE≌△BAH(AAS)  ∴AE=BH=2OA    ∵DH=2OD ∴BD=2(OA +OD)   （方法不唯一，另法略）

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