题目

在空间四边形ABCD中，M、N、P、Q分别是四边上的点，且满足＝＝＝＝k. (1)求证：M、N、P、Q共面. (2)当对角线AC＝a,BD＝b，且MNPQ是正方形时，求AC、BD所成的角及k的值(用a,b表示) 答案：解析:(1)∵  ＝＝k ∴  MQ∥BD，且＝ ∴  ＝＝ ∴  MQ＝BD 又  ＝＝k ∴  PN∥BD，且＝ ∴  ＝＝从而NP＝BD ∴  MQ∥NP，MQ，NP共面，从而M、N、P、Q四点共面. (2)∵  ＝，＝ ∴  ＝＝,＝ ∴  MN∥AC，又NP∥BD. ∴  MN与NP所成的角等于AC与BD所成的角. ∵  MNPQ是正方形，∴  ∠MNP＝90° ∴  AC与BD所成的角为90°， 又AC＝a，BD＝b，＝＝ ∴  MN＝a 又  MQ＝b,且MQ＝MN， b＝a，即k＝. 说明：公理4是证明空间两直线平行的基本出发点.

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