题目

如图1­4，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP＝BQ＝λ(0<λ<2)． (1)当λ＝1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ. (2)是否存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由． 图1­4 答案：解：方法一(几何方法)： (1)证明：如图①，连接AD1，由ABCD­A1B1C1D1是正方体，知BC1∥AD1. 当λ＝1时，P是DD1的中点，又F是AD的中点，所以FP∥AD1，所以BC1∥FP. 而FP⊂平面EFPQ，且BC1⊄平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ. 图①　　　　　　　　　图②　　　 (2)如图②，连接BD.因为E，F分别是AB，AD的中点，所以EF∥BD，且EF＝BD. 又DP＝BQ，DP∥BQ， 所以四边形PQBD是平行四边形，故PQ∥BD，且PQ＝BD，从而EF∥PQ，且EF＝PQ. 在Rt△EBQ和Rt△FDP中，因为BQ＝DP＝λ，BE＝DF＝1， 于是EQ＝FP＝，所以四边形EFPQ也是等腰梯形． 同理可证四边形PQMN也是等腰梯形． 分别取EF，PQ，MN的中点为H，O，G，连接OH，OG， 则GO⊥PQ，HO⊥PQ，而GO∩HO＝O， 故∠GOH是面EFPQ与面PQMN所成的二面角的平面角． 若存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，则∠GOH＝90°. 连接EM，FN，则由EF∥MN，且EF＝MN知四边形EFNM是平行四边形． 连接GH，因为H，G是EF，MN的中点， 所以GH＝ME＝2. 在△GOH中，GH2＝4，OH2＝1＋λ2－＝λ2＋， OG2＝1＋(2－λ)2－＝(2－λ)2＋， 由OG2＋OH2＝GH2，得(2－λ)2＋＋λ2＋＝4，解得λ＝1±， 故存在λ＝1±，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角． 方法二(向量方法)： 以D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴的正半轴建立如图③所示的空间直角坐标系．由已知得B(2，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，1，0)，F(1，0，0)，P(0，0，λ)． 图③　　　　 而FP⊂平面EFPQ，且BC1⊄平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ. (2)设平面EFPQ的一个法向量为n＝(x，y，z)，则由 于是可取n＝(λ，－λ，1)． 同理可得平面MNPQ的一个法向量为m＝(λ－2，2－λ，1)． 若存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角， 则m·n＝(λ－2，2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0， 即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝1±. 故存在λ＝1±，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角．

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