题目

【初始问题】如图1，已知两个同心圆，直线AD分别交大⊙O于点A、D，交小⊙O于点B、C．AB与CD相等吗？请证明你的结论．【类比研究】如图2，若两个等边三角形ABC和A1 B1 C1的中心（点Ｏ）相同，且满足AB∥A1B1，BC∥B1C1，AC∥A1C1，可知AB与A1B1，BC与B1C1，AC与A1C1之间的距离相等.直线MQ分别交三角形的边于点M、N、P、Q，与AB所成夹角为∠α（30°＜∠α＜90°）．【小题1】（１）求（用含∠α的式子表示）；【小题2】（２）求∠α等于多少度时，MN = PQ． 答案：【小题1】解：【初始问题】结论：AB = CD．     ……………………… 1分证明：如图，作OE⊥AD于E．∴ AE=ED，BE=EC．     …………………………………………… 2分∴ AE-BE=ED-EC．即AB=CD．     ……………………………………………………… 3分【类比研究】（1）如图，作ND⊥AB于D，PE⊥AC于E． ……… 4分则ND=PE．∵AB∥A1B1，∴ ∠1=∠α．∵等边三角形A1 B1 C1中，∠A1=60°，∴ ∠2=120°-∠1=120°-∠α．∵AC∥A1C1，∴ ∠PQE=∠2=120°-∠α．∵30°＜∠α＜90°，∴ 30°＜120°-∠α＜90°．∴ 在Rt△MDN和Rt△QEP中，DN=MN，PE= PQ．   …………………… 6分∴MN= PQ．∴． 【小题2】（2）当120°-∠α =∠α时，即∠α = 60°时，MN=PQ．解析:略

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