题目

如图,某隧道设计为双向四车道,车道总宽22米,要求通过车辆限高4.5米,隧道全长2.5千米,隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状. (1)若最大拱高h为6米,则隧道设计的拱宽l是多少?(2)若最大拱高h不小于6米,则应如何设计拱高h和拱宽l,才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小?(半个椭圆的面积公式为S=lh,柱体体积为:底面积乘以高.本题结果均精确到0.1米) 答案：解：(1)如图建立直角坐标系,则点P(11,4.5),椭圆方程为+=1,将b=h=6与点P的坐标代入椭圆方程,得a=,此时l=2a=≈33.3. 因此隧道的拱宽约为33.3米.(2)方法一:由椭圆方程+=1,得+=1.因为+≥,即ab≥99,且l=2a,h=b,所以S=lh=≥.当S取最小值时,有==,得a=11,b=,此时l=2a=22≈31.1,h=b≈6.4.故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米时,土方工程量最小.方法二:由椭圆方程+=1,得+=1.于是b2=·.a2b2=［a2-121++242］≥(2+242)=81×121,即ab≥99,当S取最小值时,有a2-121=,得a=11,b=,以下同方法一.

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