题目

如图，四边形ABEF和四边形ABCD均是直角梯形，∠FAB=∠DAB=90°，AF=AB=BC=2，AD=1，FA⊥CD． （Ⅰ）证明：在平面EBC上，一定存在过C的直线l与直线FD平行； （Ⅱ）求二面角F﹣CD﹣A的余弦值． 答案：考点： 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定． 专题： 空间角． 分析： （Ⅰ）利用线面、面面平行的判定和性质定理即可证明； （Ⅱ）利用相似三角形的性质、三垂线定理、线面角的定义即可得出． 解答： （Ⅰ）证明：由已知得，BE∥AF，BC∥AD，BE∩BC=B，AD∩AF=A， ∴平面BCE∥平面ADF． 设平面DFC∩平面BCE=l，则l过C点． ∵平面BCE∥平面ADF，平面DFC∩平面BCE=l，平面DFC∩平面ADF=DF． ∴DF∥l．证毕 （Ⅱ）解：∵FA⊥AB，FA⊥CD，AB与CD相交， ∴FA⊥平面ABCD． 过点A作AM⊥CD，垂足为M，连接FM，根据三垂线定理可得FM⊥CM，∴∠FMA是二面角F﹣CD﹣A的平面角． 过D点作DN⊥BC交BC于点N，则四边形ABND是矩形，∴DN=2，CN=1，∴CD=． ∵△AMD∽△DNC，∴，∴=． 在Rt△AMF中，由勾股定理可得=， ∴cos∠AMF==． ∴二面角F﹣CD﹣A的余弦值是． 点评： 熟练掌握线面、面面平行的判定和性质定理、相似三角形的性质、三垂线定理、线面角的定义是解题的关键．

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