题目

如图，已知正四棱锥S﹣ABCD的底面边长为2，高为，P为棱SC的中点． （1）求直线AP与平面SBC所成角的正弦值； （2）求两面角B﹣SC﹣D大小的余弦值； （3）在正方形ABCD内是否有一点Q，使得PQ⊥平面SDC？若存在，求PQ的长；若不存在，请说明理由． 　 答案：解：（1）设正方形ABCD的中心为O，如图建立空间直角坐标系， 则A（1，﹣1，0），B（1，1，0），C（﹣1，1，0）， D（﹣1，﹣1，0），S（0，0，）， ∵P是SC的中点，∴P（﹣，，）．…（2分） ，设平面SBC的法向量=（x1，y1，z1）， 则，即，取=（0，，1）， ∴cos＜＞==，…（4分） 故直线AP与平面SBC所成角的正弦值为．…（6分） （2）设平面SDC的法向量=（x2，y2，z2），则 ，即，取=（﹣，0，1）， ∴cos＜，＞==，…（9分） 又二面角B﹣SC﹣D为钝角二面角， 故二面角B﹣SC﹣D大小的余弦值为﹣．…（11分） （3）设Q（x，y，0），则，…（12分） 若PQ⊥平面SDC，则∥， ∴，解得，…（15分） 但＞1，点Q不在正方形ABCD内，故不存在满足条件的点Q．…（16分）

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