题目

在平面直角坐标系xOy中,F是抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点,过M,F,O三点的圆的圆心为Q,点Q到抛物线C的准线的距离为. (1)求抛物线C的方程; (2)是否存在点M,使得直线MQ与抛物线C相切于点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由. (3)若点M的横坐标为,直线l:y=kx+与抛物线C有两个不同的交点A,B,l与圆Q有两个不同的交点D,E,求当≤k≤2时,|AB|2+|DE|2的最小值. 答案：解:(1)依题意知F,圆心Q在线段OF的垂直平分线y=上, 因为抛物线C的准线方程为y=-, 所以=, 即p=1. 因此抛物线C的方程为x2=2y. (2)假设存在点M (x0>0)满足条件,抛物线C在点M处的切线斜率为y′==x0, 所以直线MQ的方程为y-=x0(x-x0). 令y=得xQ=+. 所以Q（+,）. 又|QM|=|OQ|, 故（-）2+（-）2=（+）2+, 因此（-）2=. 又x0>0, 所以x0=,此时M(,1). 故存在点M(,1), 使得直线MQ与抛物线C相切于点M. (3)当x0=时,由(2)得Q（,）, ☉Q的半径为r==, 所以☉Q的方程为（x-）2+（y-）2=. 由 整理得2x2-4kx-1=0. 设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 由于Δ1=16k2+8>0,x1+x2=2k,x1x2=-, 所以|AB|2=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2] =(1+k2)(4k2+2). 由 整理得(1+k2)x2-x-=0. 设D,E两点的坐标分别为(x3,y3),(x4,y4), 由于Δ2=+>0,x3+x4=, x3x4=-. 所以|DE|2=(1+k2)[(x3+x4)2-4x3x4] =+. 因此|AB|2+|DE|2=(1+k2)(4k2+2)+ +. 令1+k2=t, 由于≤k≤2, 则≤t≤5, 所以|AB|2+|DE|2=t(4t-2)+ + =4t2-2t++, 设g(t)=4t2-2t++,t∈, 因为g′(t)=8t-2-, 所以当t∈时,g′(t)≥g′=6, 即函数g(t)在t∈上是增函数, 所以当t=时,g(t)取到最小值, 因此,当k=时,|AB|2+|DE|2取到最小值.

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