题目

如图，正方形ABCD边长为4，点O在对角线DB上运动（不与点B，D重合），连接OA，作OP⊥OA，交直线BC于点P． （1）判断线段OA，OP的数量关系，并说明理由． （2）当OD＝时，求CP的长． （3）设线段DO，OP，PC，CD围成的图形面积为S1，△AOD的面积为S2，求S1﹣S2的最值． 答案：【解析】（1）证明四边形OGBH是正方形，得BG＝BH，∠GOH＝90°，再证明△AGO≌△PHO（ASA），则OA＝OP； （2）如图2，作辅助线，证明△ODQ是等腰直角三角形，得OQ＝DQ＝1，证明△ADO≌△CDO（SSS），可得PC的长； （3）如图3，作辅助线，构建三角形全等，设OH＝x，则DH＝x，CH＝OG＝4﹣x，PC＝2x，根据S△AOD＝S△COD，则S1﹣S2＝S△POC＝＝﹣x2+4x，配方后可得结论． 【解答】解：（1）OA＝OP，理由是： 如图1，过O作OG⊥AB于G，过O作OH⊥BC于H， ∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABO＝∠CBO，AB＝BC，∴OG＝OH， ∵∠OGB＝∠GBH＝∠BHO＝90°，∴四边形OGBH是正方形，∴BG＝BH，∠GOH＝90°， ∵∠AOP＝∠GOH＝90°，∴∠AOG＝∠POH，∴△AGO≌△PHO（ASA），∴OA＝OP； （2）如图2，过O作OQ⊥CD于Q，过O作OH⊥BC于H，连接OC，∴∠OQD＝90°， ∵∠ODQ＝45°，∴△ODQ是等腰直角三角形， ∵OD＝，∴OQ＝DQ＝1， ∵AD＝CD，∠ADO＝∠CDO，OD＝OD，∴△ADO≌△CDO（SSS），∴AO＝OC＝OP， ∵OH⊥PC，∴PH＝CH＝OQ＝1，∴PC＝2； （3）如图3，连接OC，过O作OG⊥BC于G，OH⊥CD于H， 设OH＝x，则DH＝x，CH＝OG＝4﹣x，PC＝2x， 由（2）知：△AOD≌△COD，∴S△AOD＝S△COD， ∴S1﹣S2＝S1﹣S△COD＝S△POC＝＝＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4， 当x＝2时，S1﹣S2有最大值是4．

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