题目

 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，1)，P是动点，且△POA的三边所在直线的斜率满足kOP＋kOA＝kPA. (1) 求点P的轨迹C的方程； (2) 若Q是轨迹C上异于点P的一个点，且＝λ，直线OP与QA交于点M，问：是否存在点P，使得△PQA和△PAM的面积满足S△PQA＝2S△PAM？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 答案：解：(1) 设点P(x，y)为所求轨迹上的任意一点，则由kOP＋kOA＝kPA得， 整理得轨迹C的方程为y＝x2(x≠0且x≠－1)． (2) 设P(x1，x)，Q(x2，x)，M(x0，y0)， 由可知直线PQ∥OA，则kPQ＝kOA， 故，即x2＋x1＝－1， 由O、M、P三点共线可知，          ＝(x0，y0)与＝(x1，x)共线， ∴ x0x－x1y0＝0， 由(1)知x1≠0，故y0＝x0x1， 同理，由＝(x0＋1，y0－1)与＝(x2＋1，x－1)共线可知(x0＋1)(x－1)－(x2＋1)(y0－1)＝0， 即(x2＋1)[(x0＋1)·(x2－1)－(y0－1)]＝0， 由(1)知x2≠－1，故(x0＋1)(x2－1)－(y0－1)＝0， 将y0＝x0x1，x2＝－1－x1代入上式得(x0＋1)(－2－x1)－(x0x1－1)＝0， 整理得－2x0(x1＋1)＝x1＋1， 由x1≠－1得x0＝－， 由S△PQA＝2S△PAM，得到QA＝2AM， ∵ PQ∥OA， ∴ OP＝2OM， ∴ ∴ x1＝1， ∴ P的坐标为(1，1)．

查看本题答案和解析