题目

已知圆C：x2＋(y－2)2＝5，直线l：mx－y＋1＝0. (1)求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点； (2)若圆C与直线相交于点A和点B，求弦AB的中点M的轨迹方程． 答案： (1)证明：法一：直线系l：mx－y＋1＝0恒过定点(0,1)，且点(0,1)在圆C：x2＋(y－2)2＝5内部，所以对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点．--------3分 法二：直线方程与圆的方程联立，消去y得(m2＋1)x2－2mx－4＝0， ∵Δ＝4m2＋16(m2＋1)＝20m2＋16>0，∴对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点． 法三：圆心到直线的距离d＝＝≤1<，所以对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点． (2)解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x，y)，- 由方程(m2＋1)x2－2mx－4＝0，得x1＋x2＝， ∴x＝，由mx－y＋1＝0，得m＝， 代入x＝，得x[()2＋1]＝， 化简得x2＋(y－)2＝.   

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