题目

（1）如图1，已知正方形ABCD，E是AD上一点，F是BC上一点，G是AB上一点，H是CD上一点，线段EF、GH交于点O，∠EOH=∠C，求证：EF=GH； （2）如图2，若将正方形ABCD改为矩形ABCD，且AD=mAB，其他条件不变，探索线段EF与线段GH的关系并加以证明． 　 答案：【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质． 【专题】探究型． 【分析】（1）如图1，过点F作FM⊥AD于M，过点G作GN⊥CD于N，EF和GN交于R，GN和MF交于Q，利用正方形的性质得FM=GN=AB=DA，且GN⊥FM，再利用等角的余角相等得到∠OGR=∠OFM，于是可根据“AAS”判定△GNH≌△FME，所以EF=GH； （2）如图2，过点F作FM⊥AD于M，过点G作GN⊥CD于N，EF、GN交于R，GN、MF交于Q，利用矩形的性质得GN=AD，FM=AB，且GN⊥FM，与（1）一样可得到∠OGR=∠OFM，加上∠GNH=∠FME=90°，则可判断△GNH∽△FME，利用相似三角形的性质得==，而AD=mAB，所以GH=mEF． 【解答】（1）证明：如图1， 过点F作FM⊥AD于M，过点G作GN⊥CD于N，EF和GN交于R，GN和MF交于Q， ∵四边形ABCD是正方形， ∴FM=GN=AB=DA，且GN⊥FM， ∵∠GOF=∠EOH=∠C=90°， ∴∠OGR=90°﹣∠GRO=90°﹣∠QRF=∠OFM， 在△GNH和△FME中 ， ∴△GNH≌△FME， ∴EF=GH； （2）解：GH=mEF．理由如下： 如图2， 过点F作FM⊥AD于M，过点G作GN⊥CD于N，EF、GN交于R，GN、MF交于Q， ∵四边形ABCD是矩形， ∴GN=AD，FM=AB，且GN⊥FM ∵∠GOF=∠EOH=∠C=90° ∴∠OGR=90°﹣∠GRO=90°﹣∠QRF=∠OFM， ∵∠GNH=∠FME=90°， ∴△GNH∽△FME， ∴===m， ∴GH=mEF． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时，主要通过相似比得到线段之间的关系．也考查了全等三角形的判定与性质．

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