题目

设，函数。 （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）若对任意，不等式恒成立，求a的最大值； （Ⅲ）若方程存在三个相异的实数根，求a的取值范围。 答案：（I）解： ，解得，或；令，解得. 从而的单调递增区间为，；单调递减区间为.                                                               …………3分 （II）解： 由.                                …………4分 由（I）得，函数在，在内单调递减， 从而当时，函数取得最大值.             …………6分 因为对于任意，不等于恒成立， 故，即， 从而的最大值是.                                          …………8分 （III）解： 当变化时，变化情况如下表： + 0 - 0 + 极大值 极小值 ①由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根； ②当时，解方程，得，即方程只有两个相异的实数根； ③当时，解方程，得，即方程只有两个相异的实数根. 如果方程存在三个相异的实数根，则  解得.                                                             …………12分 事实上，当时， ，且， 所以方程在内各有一根. 综上，若方程存在三个相异的实数根，则的取值范围是.……14分

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