题目

已知函数． （1）如果a＞0，函数在区间上存在极值，求实数a的取值范围； （2）当x≥1时，不等式恒成立，求实数k的取值范围． 答案：考点： 实际问题中导数的意义；函数在某点取得极值的条件． 专题： 压轴题；导数的综合应用． 分析： （1）因为，x＞0，x＞0，则，利用函数的单调性和函数f（x）在区间（a，a+）（其中a＞0）上存在极值，能求出实数a的取值范围． （2）不等式，即为，构造函数，利用导数知识能求出实数k的取值范围． 解答： 解：（1）因为，x＞0，则，（1分） 当0＜x＜1时，f'（x）＞0； 当x＞1时，f'（x）＜0． 所以f（x）在（0，1）上单调递增；在（1，+∞）上单调递减，所以函数f（x）在x=1处取得极大值． 因为函数f（x）在区间（a，a+）（其中a＞0）上存在极值， 所以解得． （2）不等式，即为，记， 所以= 令h（x）=x﹣lnx， 则，∵x≥1，∴h'（x）≥0，∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，∴[h（x）]min=h（1）=1＞0， 从而g'（x）＞0， 故g（x）在[1，+∞）上也单调递增，所以[g（x）]min=g（1）=2， 所以k≤2． 点评： 本题考查极值的应用，应用满足条件的实数的取值范围的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意构造法和分类讨论法的合理运用．

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