题目

定义域为的函数，其导函数为．若对，均有，则称函数为上的梦想函数． （Ⅰ）已知函数，试判断是否为其定义域上的梦想函数，并说明理由； （Ⅱ）已知函数（，）为其定义域上的梦想函数，求的取值范围； （Ⅲ）已知函数（，）为其定义域上的梦想函数，求的最大整数值． 答案：解：（Ⅰ）函数不是其定义域上的梦想函数． 理由如下： 定义域，， 存在，使，故函数不是其定义域上的梦想函数． （Ⅱ），，若函数在上为梦想函数， 则在上恒成立，  即在上恒成立， 因为在内的值域为，    所以． （Ⅲ），由题意在恒成立， 故，即在上恒成立． ①当时，显然成立； ②当时，由可得对任意恒成立. 令，则， 令， 则． 当时，因为，所以在单调递减； 当时，因为，所以在单调递增． ∵，， ∴当时，的值均为负数. ∵，，   ∴当时， 有且只有一个零点，且.    ∴当时，，所以，可得在单调递减； 当时，，所以，可得在单调递增． 则． 因为，所以， ． ∵在单调递增，，， ∴，    所以，即 又因为，所以的最大整数值为．

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