题目

如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BO为△ABC的角平分线，以点O为圆心，OC为半径作⊙O与线段AC交于点D． （1）求证：AB为⊙O的切线； （2）若tanA＝，AD＝2，求BO的长． 答案：（1）见解析；（2）3 【解析】 （1）过O作OH⊥AB于H，根据角平分线的性质得到OH＝OC，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）设⊙O的半径为3x，则OH＝OD＝OC＝3x，再解直角三角形即可得到结论． 【详解】 （1）证明：过O作OH⊥AB于H， ∵∠ACB＝90°， ∴OC⊥BC， ∵BO为△ABC的角平分线，OH⊥AB， ∴OH＝OC， 即OH为⊙O的半径， ∵OH⊥AB， ∴AB为⊙O的切线； （2）解：设⊙O的半径为3x，则OH＝OD＝OC＝3x， 在Rt△AOH中，∵tanA＝， ∴＝， ∴＝， ∴AH＝4x， ∴AO＝＝＝5x， ∵AD＝2， ∴AO＝OD+AD＝3x+2， ∴3x+2＝5x， ∴x＝1， ∴OA＝3x+2＝5，OH＝OD＝OC＝3x＝3， ∴AC＝OA+OC＝5+3＝8， 在Rt△ABC中，∵tanA＝， ∴BC＝AC•tanA＝8×＝6， ∴OB＝＝＝． 【点睛】 本题考查切线的判定、解直角三角形等内容，熟练运用圆中的性质定理是解题的关键．

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