题目

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA=AB，点M是SD的中点，AN⊥SC，且交SC于点N． （1）求证：SB∥平面ACM； （2）求锐二面角D-AC-M的的余弦值； 答案：19.解：（1）证明：连结BD交AC于E，连结ME， ∵ABCD是正方形，∴E是BD的中点．  ∵M是SD的中点，∴ME是△DSB的中位线． ∴ME∥SB．…（2分） 又ME平面ACM，SB平面ACM， ∴SB∥平面ACM．…（4分） （2）解法一：取AD中点F，则MF∥SA．作FQ⊥AC于Q，连结MQ． ∵SA⊥底面ABCD，∴MF⊥底面ABCD．∴FQ为MQ在平面ABCD内的射影． ∵FQ⊥AC，∴MQ⊥AC．∴∠FQM为二面角D-AC-M的平面角．   …（10分） 设SA=AB=a，在Rt△MFQ中，MF=SA=  ，FQ=DE= ∴tan∠FQM=∴二面角D-AC-M的余弦值为     （12分） 解法二：如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz，（5分） 由SA=AB故设AB=AD=AS=1，则∵SA⊥底面ABCD，∴ 是平面ABCD的一个法向量，=(0，0，1) 设平面ACM的法向量为=(x，y，z)，=(1，1，0)，= 令x=-1，则=( -1， 1，1)．…（10分） 二面角D-AC-M为锐二面角    ∴二面角D-AC-M的余弦值为    （12分）

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