题目

设函数 （1）当时，求的最大值； （2）令，以其图象上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，方程有唯一实数解，求正数的值．   答案：解：（1）当时，   ……1分 解得或（舍去）               ……2分 当时，，单调递增， 当时，，单调递减                ……3分   所以的最大值为                              ……4分 (2)  ……6分 由恒成立得恒成立       ……7分 因为，等号当且仅当时成立          ……8分 所以                                                 ……9分 （3）时，方程即 设，解 得(<0舍去)， 在单调递减，在单调递增，最小值为    ……11分    因为有唯一实数解，有唯一零点，所以  ……12分 由得， 因为单调递增，且，所以         ……13分 从而                                                     ……14分

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