题目

如图所示，在长方形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为CD的中点，以AE为折痕，把△DAE折起到△D′AE的位置，且平面D′AE⊥平面ABCE. (1)求证：AD′⊥BE；(2)求四棱锥D′­ABCE的体积； (3)在棱D′E上是否存在一点P，使得D′B∥平面PAC，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由． 答案：解：(1)证明：根据题意可知，在长方形ABCD中，△DAE和△CBE为等腰直角三角形， ∴∠DEA＝∠CEB＝45°，∴∠AEB＝90°，即BE⊥AE， ∵平面D′AE⊥平面ABCE，且平面D′AE∩平面ABCE＝AE， ∴BE⊥平面D′AE，∵AD′⊂平面D′AE，∴AD′⊥BE. (2)取AE的中点F，连接D′F，则D′F⊥AE. ∵平面D′AE⊥平面ABCE，且平面D′AE∩平面ABCE＝AE， ∴D′F⊥平面ABCE，∴VD′­ABCE＝S四边形ABCE·D′F＝××(1＋2)×1×＝. (3)如图所示，连接AC交BE于Q，假设在D′E上存在点P，使得D′B∥平面PAC，连接PQ，∵D′B⊂平面D′BE，平面D′BE∩平面PAC＝PQ，∴D′B∥PQ， ∴在△EBD′中，＝，∵在梯形ABCE中，＝＝，∴＝＝，即EP＝ED′， ∴在棱D′E上存在一点P，且EP＝ED′，使得D′B∥平面PAC.

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