题目

如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过坐标原点，与 x 轴正半轴交于点 A ，点是抛物线上一动点．（ 1 ）如图 1 ，当，，且时， ① 求点 M 的坐标： ② 若点在该抛物线上，连接 OM ， BM ， C 是线段 BM 上一动点（点 C 与点 M ， B 不重合），过点 C 作，交 x 轴于点 D ，线段 OD 与 MC 是否相等？请说明理由；（ 2 ）如图 2 ，该抛物线的对称轴交 x 轴于点 K ，点在对称轴上，当，，且直线 EM 交 x 轴的负半轴于点 F 时，过点 A 作 x 轴的垂线，交直线 EM 于点 N ， G 为 y 轴上一点，点 G 的坐标为，连接 GF ．若，求证：射线 FE 平分．答案：（ 1 ） ① ； ② ，见解析；（ 2 ）见解析【分析】（ 1 ） ① 直接将点代入解析式，又有，即可解出坐标； ② 相等，先求出点，由两点求出直线的方程，添加辅助线构建直角三角形，利用勾股定理求出边长，证明三角形是等腰三角形即可；（ 2 ）根据已知条件求出点的坐标，再求出所在直线的解析式，求出直线与轴的交点，添加辅助线，利用三角形相似对应边成比例，找到边与边之间的关系，在直角三角形中利用勾股定理建立等式求出边长，再根据角平分线上的点到两条线之间的距离相等，即可判断出为角平分线．【详解】解：（ 1 ）如答案图 6. ① 点在抛物线上，且，，解得，（舍去），，． ② ，点在该抛物线上，，．设直线 MB 交 x 轴于点 H ，解析式为，解得当时，，，．过点 M 作轴，垂足为 R ，，，，根据勾股定理得，，．，，，，，．（ 2 ）如答案图 7. 证明：对称轴，，，，．过点 M 作轴，垂足为 Q ，，，．当时，解得，，．，，，．，．设直线 EM 的解析式为，解得．设直线 EM 交 y 轴于点 S ，过点 S 作，垂足为 P ．当时，．．当时，，，，．，，．，，，，．设，则．在中，，．（负值舍去），，，．，，射线 FE 平分．【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的综合运用，还涉及等腰三角形的性质、直角三角形、相似三角形的判定与性质、角平分线的判定，题目综合性强，涉及知识点多、难度较大，解题的关键是：掌握以上相关知识点后，需要做到灵活运用，同时考查了添加辅助线的能力．

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