题目
如图,在平面直角坐标系中,抛物线 经过坐标原点,与 x 轴正半轴交于点 A ,点 是抛物线上一动点. ( 1 )如图 1 ,当 , ,且 时, ① 求点 M 的坐标: ② 若点 在该抛物线上,连接 OM , BM , C 是线段 BM 上一动点(点 C 与点 M , B 不重合),过点 C 作 ,交 x 轴于点 D ,线段 OD 与 MC 是否相等?请说明理由; ( 2 )如图 2 ,该抛物线的对称轴交 x 轴于点 K ,点 在对称轴上,当 , ,且直线 EM 交 x 轴的负半轴于点 F 时,过点 A 作 x 轴的垂线,交直线 EM 于点 N , G 为 y 轴上一点,点 G 的坐标为 ,连接 GF .若 ,求证:射线 FE 平分 .
答案: ( 1 ) ① ; ② ,见解析;( 2 )见解析 【分析】 ( 1 ) ① 直接将点 代入解析式,又有 , 即可解出坐标; ② 相等,先求出点 ,由两点求出直线的方程,添加辅助线构建直角三角形,利用勾股定理求出边长,证明三角形是等腰三角形即可; ( 2 )根据已知条件求出点 的坐标,再求出所在直线的解析式,求出直线与 轴的交点,添加辅助线,利用三角形相似对应边成比例,找到边与边之间的关系,在直角三角形中利用勾股定理建立等式求出边长,再根据角平分线上的点到两条线之间的距离相等,即可判断出为角平分线. 【详解】 解:( 1 )如答案图 6. ① 点 在抛物线上,且 , ,解得 ,(舍去) , , . ② , 点 在该抛物线上, , . 设直线 MB 交 x 轴于点 H ,解析式为 , 解得 当 时, , , . 过点 M 作 轴,垂足为 R , , , , 根据勾股定理得 , , . , , , , , . ( 2 )如答案图 7. 证明:对称轴 , , , , .过点 M 作 轴,垂足为 Q , , , . 当 时,解得 , , . , , , . , . 设直线 EM 的解析式为 , 解得 .设直线 EM 交 y 轴于点 S ,过点 S 作 ,垂足为 P . 当 时, . .当 时, , , , . , , . , , , , . 设 ,则 . 在 中, , . (负值舍去), , , . , , 射线 FE 平分 . 【点睛】 本题考查了一次函数和二次函数的综合运用,还涉及等腰三角形的性质、直角三角形、相似三角形的判定与性质、角平分线的判定,题目综合性强,涉及知识点多、难度较大,解题的关键是:掌握以上相关知识点后,需要做到灵活运用,同时考查了添加辅助线的能力.